ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА ПО МАТЕМАТИКЕ

«Математика и эстетика»

Шибанов Евгений Сергеевич

9 класс

2010 г.

Введение

Союз математики и эстетики заявил о себе за¬долго до появления и математики, и эстетики. Многочисленные образцы неолитических и даже палеолитических орнаментов, разбросанные по всему миру являются свидетельством данного факта. Безупречная математическая симметрия неоли¬тических орнаментов, равно как и их чарующая эстетическая привлекательность не оставляют сомнений в том, что математика и эстетика шли рука об руку уже с доисторических времен. Не случайно неолитическими орнаментами начина¬ются и книги по истории математики, и эн¬циклопедии по истории искусств. Собранные вместе в книге югославского математика и искус¬ствоведа С.Яблана и проанализированные им методами теоретико-группового анализа, эти ор¬наменты поражают не только эстетическим изя¬ществом рисунка, но и математической глубиною заложенных в них симметрийных свойств.

Египетские пирамиды входят в семь чудес света. Сорок веков смотрят на нас с высоты этих пирамид, вызывая трепетное ощущение величия, вечно-сти,  мудрости, покоя и красоты. Но не только молчаливое величие, но и совер¬шенство формы привлекает нас в пирамидах. Что на самом деле являют собой пирамиды - эстетически безупречное надгробие, возвеличивающее в веках фараона, или математическую энцикло¬педию, прославляющую мудрость их создателя? Прочувствованы путем сердца или рассчитаны путем мысли пирамиды? Случайны или необхо¬димы сокрытые в них важнейшие математичес¬кие константы?

В эпоху древних цивилизаций (не говоря уж о доцивилизационных периодах неоли¬та и палеолита) ни математики, ни эстетики еще не существовало. Но поистине удивительно, что рождение математики и эстетики отмечено бес¬спорными признаками видимой фазы их союза.

Актуальность работы обусловлена интеграционными процессами в науке. В истории науки математике всегда отводилось особое место: начиная с античности с ней связывался идеал научной истины, понятия математики служили основой для развития других наук и закладывались как принципы искусства. При рассмотрении эстетических факторов математики необходимо учитывать значимость эстетического взгляда для развития математического знания в целом.

Цель работы: изучить взаимосвязь математики и эстетики.

Задачи:

1. Рассмотреть становление математики и эстетики;

2. Обозначить открытия Пифагора, явившееся частью развитие эстетической математики;

3. Определить взаимосвязь математики и эстетики на современном этапе.

Объект исследования: математика и эстетика.

Предмет исследования: математическая симметрия и эстетическая привлекательность.

Гипотеза: если изучить происхождение математики и эстетики, свой-ства, их определяющие, можно обнаружить их взаимосвязь.

Информационной базой для написания исследовательской работы по-служили труды отечественных и зарубежных ученых и практиков, статьи периодических изданий.

Методы исследования - изучение и использование научно-публицистических и учебных изданий, метод сопоставления, аналитический метод.

1 Становление математики и эстетики

О времени и причинах рождения математики высказывается известный историк математики Д.Стройк: «Современная математика родилась в этой атмосфере ионийского рационализма — математика, которая ставила не только восточный вопрос «как?», но и современный вопрос «почему?» И хотя античная традиция «отцом геометрии» называет милетского философа Фалеса, сегодня мы можем уверенно утверждать, что математика как дедуктивная наука началась с самосского мудреца Пифагора (ок. 570 - ок. 500 до н.э.). Заметим, что другой «науки», кроме математики, античность и не знала. 

Рождение эстетики в принципе справедливо от¬нести к этому же времени - VI -V вв. до н.э., хотя с эстетикой дело обстоит несколько сложнее. Формально днем рождения эстетики считается 1735 г. - год, когда двадцатилетний Александр Баумгартен защитил на латыни свою магистер-скую диссертацию. Следуя учению Лейбница о трех основных духовных ипостасях человека - разуме, воле и чувстве, Баумгартен заметил, что должны существовать и три ветви философии, изучающие их. Науки о законах движения разума (логика) и нравственных установках воли (этика) заложил еще Аристотель. А вот науку о законах чувственного познания - теорию чувствовании - основал Баумгартен и назвал ее эстетикой (греч.  - чувствующий). Естественно, что «чувство прекрасного» - осмысление особого ценностного качества «первой» и «второй» природы, именуемого красотой, становится главным предметом эстетики. Поэтому вслед за Гегелем, сказавшим, что предметом эстетики является «обширное царство прекрасного», эстетику часто называют философией красоты или философией искусства как главного вместилища красоты.

Сегодня принято различать два периода существования эстетики - «неявный» и «явный» или имплицитный и эксплицитный. В «Эстетике» В.В.Бычкова мы читаем: «С первыми следами значимого осознания эстетического опыта мы встречаемся у пифагорейцев - учеников и последователей Пифагора». 

Таким образом, мнение исследователей едино: математика и эстетика начинаются с Пифагора. Но еще более замечательным является то, что с самого начала своего пути математика и эстетика заявили о своем явном «эксплицитном» союзе.

 

 

2 Открытия Пифагора как часть развития эстетической математики

 

Согласно античной традиции, сам Пифагор установил, что две струны издают благозвучное гармоничное созвучие (консонанс) лишь в случае, когда их длины относятся как целые числа первой четверки: 1 : 2 (октава), 2 : 3 (квинта) и 3 : 4 (кварта). Это открытие было названо законом консонансов. 

Закон консонансов впервые облекал в математическую форму фи-зическое явление - звучание струны. Он впервые указы¬вал на существование числовых закономерностей в природе и послужил отправной точкой в разви-тии пифагорейской философии. Недаром день, когда Пифагор открыл закон консонансов, немец¬кий физик А.Зоммерфельд назвал днем рождения математической физики. Закон кон¬сонансов также впервые открывал эвристические свойства математики и служил первым убедитель¬ным свидетельством красоты и гармонии миро¬здания, мудрой простоты и целесообразности природы, построенной на единых математичес¬ких принци-пах.

Но закон консонансов стал и выдающимся за¬коном эстетики. Он впер-вые указывал, что гар¬мония, красота, благозвучие также определяются числом. Причем не просто числом, а простейшей четверкой натуральных чисел 1,2,3,4, которая была названа пифагорейцами четверицей — тетрактис - и почиталась ими как божественное откровение. Так что день открытия Пи-фагором закона консонансов с полным правом можно назвать и днем рождения экспериментальной эс¬тетики. Знание математических законов строе¬ния консонансов открывало дорогу к построению музыкальной шкалы - пифагоровой гаммы - и всей пифагорейской теории музыки.

 

Однако величие Пифагора состояло не только в том, что он открыл за-кон консонансов, но и сумел оценить его подлинное мировоззренческое значение. Не только «земная» музыка есть гармо¬ния и число, но и все мироздание имеет прекрас¬ное, простое и ясное математическое устройство, весь мир есть гармония и число. Так пифагорейцы пришли к своему знаменитому принципу: все есть число. Так мироздание получило имя космос, что по-гречески означает порядок и прекрасное устройство.

Математико-эстетический тезис Пифагора о гармоничном и математическом устройстве ми¬роздания имеет непреходящее значение. Идеи Пифагора вскоре были подхвачены Платоном и сформулированы им в виде важнейшего методо¬логического принципа науки - принципа матема¬тизации науки.  

Но не менее значимой и непреходящей явля¬ется и эстетическая сторона идей Пифагора о гармонии мироздания. Мысль о красоте, просто¬те и гармо-нии мироздания проходит путеводной нитью по всей истории науки. Не слу-чайно вели¬кий физик современности Альберт Эйнштейн писал: «Без веры во внутреннюю гармонию на¬шего мира не могло бы быть никакой науки. Эта вера есть и всегда останется основным мотивом всякого научного творчества». 

Вторым математико-эстетическим открытием Пифагора является нахож-дение золотых пропор¬ций в пентаграмме. Пря¬мых свидетельств о том, что пифагорейцы откры¬ли зо-лотые пропорции в пентаграмме, нет. Одна¬ко косвенных указаний достаточ-но.

Во-первых, пифагорейцы боготворили пента¬грамму и выбрали ее в качестве символа привет¬ствия, пожелания здравствования и тайного опознавательного знака. Во-вторых, пентаграмма об¬ладает всеми видами «древних средних», извест¬ных пифагорейцам, - это арифметическое, гео-метрическое и гармоническое среднее - и есть основания считать, что пифагорейцы знали это. В-третьих, - и это самое главное - любые два соседних отрезка пентаграммы относятся в золо¬той пропорции или, как говорили греки, в край¬нем и среднем отношениях. 

Рассмотрение в пентаграмме любой пары по¬добных треугольников с отношением сходственных сторон 

 

приводит к квад¬ратному уравнению

х2 = а(а - х),

которое пифагорейцы легко решали методом «приложения площадей». Решение последнего уравнения и дает

 

или число φ, которое сегодня благодаря Леонардо да Винчи мы называем коэффициентом золотого сечения.

Способы построения правильного пятиуголь¬ника (а значит, и пентаграммы) и деления отрез¬ка прямой в крайнем и среднем отношениях как строго научные факты известны сегодня из «На¬чал» Евклида (кн. IV, пр. 11 и кн. VI, пр. 30 соот¬ветственно). Хотя Евклид и жил на 200 лет позже Пифагора, все историки математики единодуш¬ны в том, что эти знания восходят к школе Пи¬фагора.

По всей вероятности от пифагорейцев золотые пропорции пентаграммы перешли и в греческое искусство. Известно, что прослав¬ленный скульптор V в. до н.э. Поликлет, тесно связанный с пифагорейцами, написал теоретиче¬ский трактат о числовых пропорциях в скульпту¬ре и создал статую «Дорифор» как практическое воплощение своей теории. Трактат Поликлета не сохранился, но «Дорифор», именуемый также «Канон», дошел до нас в римских копиях. 

Тщательные измерения «Канона» показывают, что единственным правилом, заложенным в нем, могут быть пропорции золотого сечения, а не известные античные системы модульного пропорционирования. Но пропорции золотого сече¬ния присущи даже человеку, как, впро¬чем, и большинству живых форм на Земле. На связь золотых про¬порций пентаграммы и золотых пропорций чело¬века указывает следующее. Древние знали, что че¬ловек с максимально раскинутыми руками и но¬гами вписывается в окружность с центром в пупе человека, при этом сам человек становится очень похож на пентаграмму. В то же время пуп чело¬века является и ключевой точкой в построении золотых пропорций человека. «Это весьма нема¬ловажное обстоятельство способно наводить на большие размышления, - пишет выдающийся знаток античности А.Ф.Лосев - и хотя точных данных к такому пониманию числовой природы канона Поликлета не имеется, все же вероятность его огромна и эстетическая значимость его по-чти очевидна». Так что знаменитый витрувианский человек Леонардо из галереи Ака¬демии Венеции восходит не только к Витрувию, но, возможно, и к Поликлету и даже самому Пифагору.

Ученик Пла¬тона Аристотель в «Метафизике» пишет: «...за¬блуждаются те, кто утверждает, что математика ничего не говорит о прекрасном или благом. На самом же деле она говорит прежде всего о нем и выявляет его. Ведь если она не называет его по имени, а выявляет его свойства и отношения, то это не значит, что она не говорит о нем. А важней¬шие виды прекрасного - это слаженность, сораз¬мерность и определенность, математика больше всего и выявляет именно их».

Хотя средневековье и в религии, и в искусстве явилось антиподом античности, оно продолжило пифагорейскую традицию в онтологии красоты. И на рассвете средневековья один из отцов церк¬ви Блаженный Августин в трактате «О музыке» выступил последовательным пифагорейцем во взглядах на природу красоты: «Число лежит в основе всякого восприятия красоты. Только в том случае, когда само ощущение удовольствия пре-исполнено определенных чисел, оно способно одобрять равные интервалы и отвергать беспоря¬дочные». И через 1000 лет, на закате средневековья, «последний схоласт» Фома Аквиант в «Сумме теологии» писал: «Красота заклю¬чается в должной пропорции: ведь ощущение на¬слаждается вещами, обладающими должной про¬порцией, как ему подобными, поскольку и ощу-щение есть некое разумение, как и всякая позна¬вательная способность вообще». За¬метим, что в утверждении «ощущение есть некое разумение» Фома зорко разглядывает неразрыв¬ность правополушарного и левополушарного спо¬собов познания действительности.

Эпоха Возрож¬дения, провозгласившая себя духовным преемни¬ком ан-тичности, возродила пифагорейский союз математики и эстетики. С наи-большей ясностью это сделал первый в череде универсальных гениев Возрождения Леон Баттиста Альберти: «Красота есть строгая соразмерен¬ная гармония всех частей, объединяемых тем, чему они принадлежат, - такая, что ни приба¬вить, ни убавить, ни изменить ничего нельзя, не сделав хуже. Великая это и божественная вещь, осуществление которой требует всех сил искусст¬ва и дарования, и редко когда даже самой приро¬де дано произвести на свет что-нибудь вполне законченное и во всех отношениях совершен-ное...» 

В 1202 г. итальянский купец Леонардо Пизанский более известный по прозвищу Фибоначчи в «Книге об абаке» впервые смоделировал и решил задачу о развитии популяции кроликов. Рост по¬пуляции кроликов описывается знаменитым ря¬дом Фибоначчи, который строится по рекуррент¬ной формуле  :

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ... .

Легко заметить, что отношения первых чисел ряда Фибоначчи 1:1, 2:1, 3:2, 5:3, 8:5 есть не что иное, как числовые значения важнейших консонансов примы, октавы, квинты, большой сексты (обращение малой терции 6:5) и ма-лой сексты (обращение большой терции 5:4) соот¬ветственно. Также можно обнаружить, что чем больше номер п в отношении двух соседних чисел Фибоначчи, тем ближе это отношение к коэффициенту золотого сечения. Наконец, с помощью разложения числа Ф в цепную дробь получим, что

 

Так было установлено единство между важней¬шими эстетически значи-мыми пропорциями.

Еще через 300 лет в 1509 г. францисканский монах Лука Пачоли в трактате «Divina Proportione» назвал деление отрезка в крайнем и среднем от¬ношении Sectio divina - божественной пропорци¬ей. Пачоли рассмотрел тринадцать свойств боже¬ственной пропорции, называя их эпитетами са¬мых превосходных степеней, и по существу про¬возгласил божественную пропорцию непререка¬емым каноном красоты. Друг Пачоли Леонардо да Винчи сделал 60 рисунков к трактату, что в немалой степени способствовало успеху тракта¬та, хотя и предпочитал называть пифагорейскую пропорцию Sectio aurea - золотое сечение. 

И еще через 300 лет, в середине XIX в., с выхо¬дом в свет труда А.Цейзинга «Новое учение о про¬порциях человеческого тела», золотое сече-ние предстало как основной морфологический закон природы и искусства. Эстетико-математическая система Цейзинга может быть сведена к трем основным положениям: золотое сечение гос¬подствует в искусстве; золотое сечение господст¬вует в природе; золотое сечение господствует в искусстве именно потому, что оно господствует в природе. Так по прошествии двух тысячелетий вновь зазвучал Аристотелев тезис о подражании искусства природе.

Итак, Пифагор и его последователи определили основы взаимосвязи эстетического и математического. Открытие золотого сечения и его пропорций позволило утверждать о существовании эстетической математики.

 

3 Математика и эстетика на современном этапе

Естественно, что XX в., который помимо про¬чих определений может быть назван и веком ма¬тематизации науки, принес немало доказательств союза математики и эстетики. К числу фундамен¬тальных принципов, на которых строится этот союз, следует отнести принцип симметрии. Если эстетическая мощь симметрии была использована, начиная с эпохи неолита, то сам принцип симметрии был обозначен только в XX в. Именно в XX в. стало понятно, что принцип симметрии фактически лежит в основе всего мироздания.

Математический аппарат рационального ос¬мысления симметрии был заложен Эваристом Галуа 30 мая 1832 г. в ночь перед дуэлью, на ко¬торой он был убит в возрасте 21 года. Но только по прошествии без малого 100 лет теория групп Галуа становится мощным инструментом анали¬за свойств симметрии. В 1918 г. Эмми Нётер до¬казала знаменитую теорему о соответствии каж¬дому виду симметрии своего закона сохранения. В середине XX в. американские физики Цзундао Ли и Чжень-нин Янг (1958), а затем Юджин Виг-нер (1963) получили Нобелевские премии за от¬крытие фундаментальных законов симметрии атомного ядра. В это же время Джеймс Уотсон, Фрэнсис Крик и Морис Уилкинсон (1962) полу¬чили Нобелевскую премию за установление мо¬лекулярной структуры нуклеиновых кислот - открытие знаменитой симметричной структуры двойной спирали молекулы ДНК. И в это же время с помощью мощных те-лескопов были от¬крыты спиральные галактики, так что спираль¬ная симмет-рия стала известна повсюду - от ми¬кро- до макрокосмоса. В конце XX в. С.В.Петуховым законы симметрии были обнаружены в структуре генетического кода. Симметрия стала пониматься как важнейший закон гар-монии ми¬роздания.

Таким образом, к концу XX в. в полной мере сбылись пророческие слова В.И.Вернадского, ска¬занные им в 20-е гг. XX в.: «Принцип симметрии в XX в. охватил и охватывает все новые области. Из области материи он проник в область энер¬гии, из области кристаллографии, физики твер¬дого вещества он вошел в область химии, в об¬ласть молекулярных процессов и в физику атома. Нет сомнения, что его проявления мы найдем в еще более далеком от окружающих нас комплексов мире электрона и ему подчинены будут явления квантов

Симметрия стала важнейшим компонентом всей научной культуры. Не меньшую роль идея симметрии играет и во всей истории художественной культу¬ры. Как отмечал выдающийся математик XX в. Герман Вейль, «симметрия... является той идеей, посредством которой человек на протяжении ве¬ков пытался постичь и создать порядок, красоту и совершенство». Постичь порядок и красоту мироздания - это путь идеи симметрии в науке. Создать красоту и совершенство - это смысл жизни идеи симметрии в искусстве.

Таким образом, идея симметрии для человека носит архетипический характер. От «видимой глазом» при¬родной симметрии до «видимой разумом» науч¬ной концепции - таков путь идеи симметрии в культуре. Именно архетип симметрии перефор¬мирует в сознании человека идею гармонии ми¬роздания, которое именно по этой причине и было названо древними греками космосом.

Космология вообще взросла на почве идеи сим¬метрии. Идея сим-метрии, как способ достижения гармонии и со¬вершенства, привела Пифагора к верной гипотезе о шарообразности Земли и круговых траекториях планетных орбит, так как только шар и окружность обладают центральной симметрией беско¬нечного порядка, т.е. в высшей степени совер¬шенны. Так же и Платон только из эстетических соображений, т.е. из соображений симметрии, объявил атомы четырех стихий правильными многогранниками и по существу предвосхитил законы симметрии микромира. По-видимому, то же триединство гармонии - симметрии - совершен¬ства подсказало Резерфорду планетарную модель атома. Таким образом, на всех этапах развития научной культуры эстетическое содержание сим¬метрии придавало этой идее и мощный эвристи¬ческий потенциал.

Конец XX века знаменовался стремительным взлетом новой трансдисциплинарной науки, названной синергетикой. Важной особенностью синергетики с самого ее зарождения выступила универсальность, установление удивительных аналогий в поведении различных систем, изучаемых различными науками. Это свойство синергетики отмечал ее основатель Г.Хакен: «В течение длительного времени казалось, что в науке появляется все большее и большее количество дисциплин и что вообще не существует объединяющего принципа. Однако в последние два десятилетия эта тенденция изменилась. Предпринимается ряд попыток навести мосты между различными науками. Синергетику можно рассматривать как один из таких мостов»

В синергетике происходит стирание границы между наукой и искусством, между естественными и гуманитарными науками, между поведением человека и природы. Именно синергетика открывает новый союз математики и эстетики.

Очень поэтично (что характерно для больших ученых и еще раз указывает на союз эстетики и математики) говорит об этом сам Пригожин: «Ученые поняли, что идеализированные ситуации не преподнесут им универсальной отмычки; точные науки вновь, наконец, должны стать естествознанием со всем богатством его оттенков, о чем сегодня просто забыть. Отныне перед исследователями стоит проблема, которая прежде считалась прерогативой гуманитарных наук,  - проблема необходимого диалога со всем предшествующим знанием по каждому вопросу и предмету». И далее: «Любая наука становится ныне наукой гуманитарной, наукой, созданной людьми для людей. Она находится сейчас в состоянии поэтического подслушивания природы».

И еще одно направление становится сегодня основой союза математики и эстетики. В середине XX в. возникает еще одна математическая концепция, связанная с именами Н.Винера, Дж.фон Неймана, К.Шеннона и др., которая вводит в рассмотрение новую координату – информацию. Без теории информации немыслима современная компьютерная культура. Но теория информации позволяет сделать и важный шаг на пути сближения научно-технической и гуманитарно-художественной культур. Источником информации в науке является внешний мир и его наблюдение ученым; источником информации в искусстве является внутренний мир и фантазия художника. 

Теоретико-информационный подход к изучению культуры и искусства сегодня успегно развивается в работах Г.А.Голицына, В.М.Петрова, В.П.Рыжова и уже позволил авторам получить ряд новых нетривиальных и конструктивных результатов. Укажем на некоторые из них.

Принцип максимума информации, который Г.Голицын и В.Петров вы-двигают в качестве основного постулата своей теории, позволил В.Петрову объяснить знаменитые опыты Г.Фехнера об эстетическом предпочтении чело-веком формата золотого сечения, то есть прямоугольника с отношением сторон 1,618. С этих опытов в конце 19 в. началась экспериментальная эстетика. Но в опытах Фехнера испытуемым предлагались «чистые» формы – равномерно окрашенные прямоугольники, не несущие никакой информации, кроме отношения сторон. Если же прямоугольник становится картиной, то художники отдают эстетические предпочтения совсем иным формат с отношением сторон  1,3. теоретико-информационный подход позволил В.Петрову объяснить и этот феномен.

Г.Голицын отводит принципу максимума информации главенствующую роль вариационного принципа – единственного принципа, из которого выводится вся теория, все законы теории, все основополагающие константы теории и т.д. В качестве первого шага Голицын выводит из принципа максимума информации важнейшие эстетические константы – коэффициент золотого сечения и основные консонансы музыкальных тонов. Таким образом, впервые в своей двухтысячелетней истории закон золотого сечения выводится не индуктивным (эмпирическим) путем, а дедуктивным (теоретическим) способом. В терминах теории информации закон золотого сечения получает обобщенную трактовку, а именно: отношение золотого сечения доставляет наблюдателю максимум информации при минимуме затрачиваемых ресурсов.

Следует заметить что после эпохи Ренессанса, Пачоли и Леонардо, XX век можно назвать веком «постнеклассического ренессанса» золотого сече-ния. В ХХ в. закон золотого сечения получает огромное число поразительных эмпирических доказательств и приложений в самых различных областях знания. 

Например, в 1974 г. оксфордский астрофизик и математик Роджер Пенроуз изобрел способ квазипериодического покрытия плоскости с помощью двух типов ромбов, имеющих пропорции золотого сечения: «толстого» ромба со сторонами 1 и большой диагональю Ф и «тонкого» ромба со сторонами 1 и малой диагональную  . Покрытие Пенроуза образует изящную квазипериодическую структуру, тяготяющую к пентагональной симметрии. При больших площадях покрытия отношение «толстых» и «тонких» ромбов стремится к числу Ф. Разумеется, и «толстые» и «тонкие» ромбы как фигуры с пропорциями золотого сечения содержатся в пифагорейской пентаграмме.

Позже японский физик Ясунари Ватанаба предложил компьютерный алгоритм по раскраске решеток Пенроуза и, выбирая различные гаммы цветов, создал изящный календарь из 12 месяцев года – прекрасный образец соединения математики и эстетики. Свой календарь Ватанаба демонстрировал в 1996 г. на Международной конференции «Математика и искусство» в г.Суздале.

В 1976 г. Роббер Амман обобщил двумерную задачу Пенроуза на трехмерный случай и нашел трехмерные квазипериодические покрытия пространства «толстыми» и «тонкими» ромбоэдрами. Однако и двумерные, и трехмерные квазипериодические покрытия, по признанию самого астрофизика Пенроуза, оставались не более чем математическими развлечениями, изящной игрой эстетствующего ума математиков.

Каково же было изумление и Пенроуза, и Аммана, и всей научной общественности, когда через 10 лет, в 1984 г., израильский материаловед Дан Шехтман открыл квазипериодические структуры, очень похожие на решетки Пенроуза-Амманна в аллюминиево-марганцевом сплаве. Эти структуры, названные квазикристаллами, представляли собой непериодические структуры, основанные на пентагональной и икосаэдрической симметрии, и в силу этого были пронизаны пропорциями золотого сечения по все направлениям. Открытие Шехтмана буквально перевернуло современную кристаллографию, так как всегда считалось, что симметрия пятого порядка может встречаться только в живой природе и в мире кристаллов в принципе невозможна. 

С тех пор как в 1754 г. швейцарский натуралист Шарль Бонне обнаружил, что расположение листьев на стебле описывается числами Фибоначчи, учение о филлотаксисе (листорасположении) стало едва ли не первой попыткой внедрения математических методов  биологии. За 250 лет истории филлотаксиса сделано немало открытий, хотя до сего времени нет теории, объясняющей, например, законы расположения семечек в розетке подсолнуха, причины возникновения в ней «левых» и «правых» спиралей, число которых равно двум соседним числам Фибоначчи (а отношение, следовательно, числу Ф) и т.д. Новым шагом в теории филлотаксиса стало открытие украинским ученым О.Боднаром закона преобразования спиральных биосимметрий, который является убедительным подтверждением гипотезы В.И.Вернадского о неевклидовом характере геометрии живой природы.

Симметрия в окружающем мире часто воспринимается как прекрасное, эстетическое. Она заложена в самом основании мироздания в микрокосмосе частицам противостоит их зеркальное отражение - античастицы. Симметрия -  фундаментальное свойство мироздания - повторяется и в листке дерева, и в строении тела животных и человека. Осваивая мир, люди сообразуют свою деятельность с его свойствами, выходя благодаря этой деятельности в сферу свободы. В ходе человеческой деятельности рождается красота как способность действительности стать объектом освоения и потому быть значимой для человечества и в результате освоения стать сферой свободы.

Таким образом, эстетическая роль математики состоит, в частности, в том, что она сводит разрозненные элементы и связи системы в целостную композицию, обладающую эстетическими качествами (красота, обаяние, цвет, форма, пропорция, симметрия, гармония, единство частей целого, полезность, удовольствие и др.).

Математизация сфер общества – характерная черта нашей эпохи. Математика широко используется как в традиционных областях (физика, биология, экономика и др.), но и в нетрадиционных областях (история, лингвистика, психология, социология и др.). Математизация (часто, - с информатизацией) - существенный фактор наведения и укрепления междисциплинарных связей, решения междисциплинарных проблем, проникновения не только в количественно отражаемую сущность таких явлений, но и в их качественную сущность. 

   

Эстетическое воспитание на уроках математики

О роли и значении уроков математики в воспитании правильного и дисциплинированного мышления говорилось и писалось очень много. Напротив, о влиянии математических знаний на эстетическое формирование личности учащегося не сказано почти ничего. Всегда предполагалось, что по абстрактности своего предмета математическая наука не может давать учащимся тех непосредственных впечатлений, эстетически воздействующих и формирующих характер образов, картин, эмоций, какими располагает история и литература. А..Г..Мордкович сформулировал мысль:" Математика – это самая главная гуманитарная наука, которая позволяет упорядочить свои мысли, разложить по полочкам нужную информацию". Математика единственный предмет, который учит учащихся систематизации мышления, точности излагаемого, яркости определения. Действительно, какой другой предмет научит учеников кратко, но точно излагать свою мысль, достоверно передавать описание того или иного предмета. Именно на математике мы применяем такой опыт, как запись условия задачи математическим языком. 

Глубокая и важная черта математических заданий состоит в присущем им в значительном большинстве случаев творческом характере. В то время как в большинстве других областей знания выполнение задания, за немногими исключениями, требует от учащегося лишь определенных знаний и навыков – в лучшем случае еще умение стройно и стилистически излагать эти знания, - решение математической задачи, как правило, предполагает изобретение специально ведущего к поставленной 

Математика в отличие от большинства других преподаваемых в школе дисциплин имеет предметом цели рассуждения и тем самым становиться – пусть весьма скромным – творческим актом. Именно этот творческий, исследовательский характер математических заданий более чем что-либо другое влечет к себе молодые силы растущего и крепнущего интеллекта учащегося. Тот, кто изведал благородную радость творческого достижения, никогда уже не пожалеет усилий, чтобы вновь ее испытать.своего обучения не непосредственно вещи, составляющий нас окружающий мир, а количественные отношения и пространственные формы, свойственные этим вещам.

Математика владеет не только истиной, но и высшей красотой-красотой отточенной и строгой, возвышенно чистой и стремящейся к подлинному совершенству, которое свойственно лишь величайшим образцам искусства. (Б. Рассел)

Таким образом, в математике как ни в какой другой науке находит выражение важнейший критерий научной красоты - единство в многообразии. Математика раскрывает перед человеком красоту внутренних связей, существующих в природе, и указывает на внутреннее единство мира. 

Язык математики – это особый язык науки. В отличии от естественного языка, который в основном классифицирует предметы и потому является языком качественным, язык математики прежде всего количественный. Количественный язык представляет собой дальнейшее развитие и уточнение обычного качественного языка.

Важнейшим преимуществом количественного языка математики является краткость и точность. В этом его огромное преимущество и в этом его красота, ибо именно в математическом языке претворяется один из основных признаков красоты в науке: сведение сложности к простоте.

Итак, математика – это не только самостоятельная наука о “математических структурах”, но и язык других наук, язык единый, универсальный, точный, простой и красивый. Хорошо сказал об этих качествах математики советский математик С.Л.Соболев: “Есть одна наука, без которой невозможна никакая другая. Это математика. Ее понятия, представления и символы служат языком, на котором говорят, пишут и думают другие науки. Она объясняет закономерности сложных явлений, сводя их к простым, элементарным явлениям природы. Она предсказывает и предвычисляет далеко вперед с огромной точностью ход вещей.”

Что можно рассматривать на уроках математики, предвещающих красоту, стройность, закономерность? И как это связать с искусством и живописью?

Симметрия является той идеей, посредством которой человек на протяжении веков пытался постичь и создать порядок, красоту и совершенство. (Г.Вейгель)

Т.О., симметрия воспринимается человеком как проявление закономерности, порядка, царящего в природе. Итак, целесообразность симметрических форм была осознана человечеством в доисторические времена, а в сознании древних греков симметрия стала олицетворением закономерности, целесообразности, а следовательно и красоты.

Пушкин А.С. рисует величавую Царевну – Лебедь со звездой во лбу (красота – симметрия) и окривевших злодеек ткачиху с поварихой (уродство – асимметрия).

Пропорция в искусстве определяет соотношение величин элементов художественного произведения. В эстетике пропорция, как и симметрия, является составным элементом категории меры и выражает закономерность структуры эстетического образа.

Возьмем простой пример: деление отрезка прямой. Если отрезок разделить пополам, зеркально – симметрично, то такое деление выглядит уравновешенным, мертвым. Если же точку деления взять слишком близко к одному из концов отрезка, то новая конфигурация будет чересчур неуравновешенной. Только некоторая “золотая середина”, которая не является геометрической серединой, обеспечивает желаемое единство симметрии и асимметрии.

Такое “радующее глаз” деление отрезка, по преданию, было известно еще Пифагору и называлось им “золотой пропорцией”. У древних египтян, “золотая пропорция” определяется как деление отрезка на две неравные части, при котором меньшая из них так относится к большей, как последняя ко всей длине отрезка. Художник и инженер Леонардо да Винчи называл ее “Sectio aurea” (золотое сечение), а математик и астроном Иоганн Кеплер, обнаруживший “золотую пропорцию” в ботанике, называл ее “Sectio divina” (божественное сечение).

“Золотое сечение” мы находим всюду: в изобразительном и прикладном искусстве, в архитектуре и музыке, в литературе, в предметах быта и машинах. 

Каждому человеку нужно знать, какими были и как жили его давние и недавние предки, что довелось испытать и пережить народам нашей Родины на протяжении прошедших веков.

Что же это за наследие?

Это летописи, сказания, жития святых и праведников, песни и легенды. Это документы общественной жизни и становление российской государственности: законы, нравственные заповеди, указы и гражданские акты, договоры царей князей и других правителей.

Это иконы и росписи храмов, хранящие Русь православную, ее святую веру.

Это творения художников, запечатлевших былые картины природы, панорамы городов, сцены быта, обряды и занятия наших пращуров.

Это сбереженные в музеях орудия труда, утварь, одежда, игрушки, разнообразные изделия искусных умельцев – мастеров.

Это памятники архитектуры – от церквей, монастырей и крепостей до мельниц, хозяйственных построек. 

Погрузиться в прошлое, реально представить его картины и вместе с тем как бы стать участником былых событий нам поможет математика.

Как быстро летит время. Как незаметно взрослеют наши дети. Развитие ребенка у нас, взрослых, вызывает удивление и радость. В развитии восприятия, внимания, памяти, произвольности мышления огромную лепту вносит оригами – искусство, близкое ребенку и доступное.

Не перечислить всех достоинств оригами в развитии ребенка. Доступность бумаги как материала, простота ее обработки привлекают учеников. Они овладевают различными приемами и способами действий с бумагой, такими, как сгибание, многократное складывание, надрезание, склеивание. 

Оригами развивает у учащихся способность работать руками под контролем сознания, происходит развитие глазомера.

Оригами способствует концентрации внимания, так как заставляет сосредоточиться на процессе изготовления, чтобы получить желаемый результат.

Оригами имеет огромное значение в развитии конструктивного мышления детей, их творческого воображения, художественного вкуса, стимулирует развитие памяти, так как ребенок должен запомнить последовательность ее изготовления.

Оригами способствует четкому запоминанию таких геометрических понятий, как угол, сторона, квадрат, треугольник и т.д.

Оригами активизирует мыслительные процессы. В процессе конструирования у учащегося возникает необходимость соотнесения наглядных символов (показ приемов складывания) со словесными (объяснение приемов складывания) и перевод их значения в практическую деятельность (самостоятельное выполнение действий).

Оригами совершенствует трудовые умения учащегося, формирует культуру труда.

 

Этапы техники оригами.

Учитель объясняет приемы складывания и показывает на своем образце – учащиеся повторяют действия.

Учитель объясняет приемы складывания, опираясь на схемы, - учащиеся выполняют.

Учитель чертит схемы, не объясняя приемов складывания, - учащиеся выполняют.

Учитель предлагает нарисовать схемы складывания базовых форм.

Учитель называет базовые формы – учащиеся самостоятельно складывают.

Учащиеся самостоятельно объясняют схемы складывания.

Учащиеся самостоятельно объясняют и показывают приемы складывания. 

Большую роль в эстетическом воспитании играет умение учеников чертить плоскостные фигуры, путем подбора выпуклых фигур комбинировать небольшие мозаичные фрагменты.

Представьте себе, что у вас имеется неограниченный запас одинаковых по форме деталей. Если ими можно покрыть всю плоскость без зазоров и наложений, то о таких фигурах говорят, что ими можно вымостить, или выложить, плоскость, а плоскость, выраженную фигурами, называют мозаикой. С древнейших времен такие мозаики использовались во всем мире для украшения полов, стен, в узорах для мебели, ковров, обоев, одежды и др. предметов. Голландский художник М.К.Эшер с необычайной изобретательностью покрывал плоскость фигурами сложной конфигурации, напоминающими своими очертаниями птиц, рыб, животных и др. живых существ. Наиболее ярким примером обладает анаморфное изображение фрагментов рисунка. 

Этот термин происходит от греческих ana – снова и morphe – форма и означает реалистическое изображение, настолько сильно деформированное проективным преобразованием, что оно становится трудноузнаваемым. Если такую картинку рассматривать под некоторым углом к его плоскости, то появление неискаженного изображения столь неожиданно, что те, кто наблюдает подобный эффект впервые, как правило, вскрикивают от удивления.

Наиболее известным примером анаморфного изображения служит фрагмент картины Ханса Холбейна “ Испанские послы” (1533г.).<рис.3> Зажмурив один глаз и наклоняя страницу с репродукцией картины от себя так, чтобы левый нижний угол ее был направлен в открытый глаз и находился на расстоянии около 15 см, можно увидеть у ног послов череп.

Другой яркий пример анаморфного изображения можно наблюдать в загадочной картинке Сэма Ллойда. В ней “запрятан” портрет Джорджа Вашинктона в зрелые годы. На этой же картинке изображена головоломка Сема Лойда: квадратный пирог Вашингтона требуется разрезать на 6 квадратных кусков не обязательно одинаковых размеров. “Косые изображения” такого рода иногда встречаются в детских книжках и рекламных оъявлениях. 

Этот метод анаморфного изображения иногда используется в дорожных знаках: слово “СТОП” располагается под таким углом,что его в нормальном ракурсе видит только водитель, приближающийся к перекрестку.

Геометрический метод построения косых изображений состоит в том, что сначало картину расчерчивают на квадратные клетки, затем матрицу растягивают, превращая ее в трапецию, после чего художник копирует картину, заполняя трапецевидные клетки и тщательно следя за возможно более точным соответствием содержимого каждой растянутой клетки содержимому квадратного оригинала. Составление картинок из 7 кусочков дерева, известных под названием ТАНОВ – одно из самых древних развлечений на Востоке. Таны имеют простейшую форму, но позволяют составлять бесконечно много разнообразнейших фигурок – танграмов. Составление таких фигурок предъявляет весьма высокие требования к геометрической интуиции, развивает образное мышление, художественные способности играющего.

Что такое таны? Несколько тысяч лет тому назад китайский ученый очень остроумно разрезал квадрат на 7 частей. 

Игра в танграм распадается на три основные категории: 

Поиск одного или нескольких способов построения данной фигурки или изящного доказательства невозможности построения фигурки;

Нахождения способа, позволяющего с наибольшей выразительностью или юмором ( или тем и другим вместе ) изобразить силуэты животных, людей и другие узнаваемые предметы;

Решение различных задач комбинаторной геометрии, возникающих в связи с составлением фигур из 7 танов. 

Чем полезна эта игра, что она дает учащимся? Во-первых, ученики воочию убеждаются, что подобие и равенство фигур – это не одно и тоже, знакомятся со всеми свойствами фигур. Во-вторых, развивается образное мышление и полет фантазии.

Еще о чем полезном можно и нужном на уроках математики говорить? О чем угодно, обо всем, что используем на уроке: циркуль, линейка, ластик, тетрадь, учебник ( бумага ).

Циркуль.

Возьмите в руки циркуль и внимательно его рассмотрите. Какой это красивый и необычный инструмент. Он очень похож на маленького длинноногого человечка. Этот волшебник умеет изображать окружность.

“Сговорились две ноги делать дуги и круги” - это загадка про циркуль, который нужен сегодня ученым, инженерам, учителям, студентам и школьникам. Оказывается, циркуль – древний инструмент. Название свое он получил от латинского слова циркулюс, что значит круг, окружность. Древнейшие циркули находят среди развалин старейших городов. Например, циркули с железными ножками были обнаружены среди пепла, что засыпал 1800 лет назад древнеримский город Помпею. О том, что человек пользуется циркулем очень давно, свидетельствуют рисунки с изображением ровных, правильных окружностей на храмах, куполах домов, посуде.

В настоящее время существует множество различных циркулей. Самый простой наш помощник – одноногий циркуль, который имеет смешное название козья ножка.

Циркуль – измеритель очень похож на обычный, только обе его ноги имеют иголочки. Такой циркуль нужен для проведения точных измерений

Есть циркули большие, например штангенциркуль, который помогает инженерам проводить огромные окружности.

Линейка.

Было время, когда длину измеряли веревочкой, величиной ступни (фут, пядь), длиной пальцев (дюйм), величиной локтя (ярд), саженью (расстояние от подошвы левой ноги до кончиков пальцев поднятой вверх правой руки, наискосок). Все измерения при этом, конечно, были приблизительными. С 1791 года люди многих стран условились считать метром одну десятимиллионную часть от четверти длины того меридиана, который проходит через город Париж. Само слово метр произошло от греческого мера – точная мера длины. Тогда же был выполнен образец метра – узкая тонкая линейка из драгоценного металла, который называется платиной.

У обычной линейки много родственников. Ее брат угольник состоит из целой семейки линеек – папы, мамы и ребенка, соединенных в виде треугольника.

Большая линейка в виде буквы “Т” называется рейсшиной. Маленькой частью она упирается в край чертежной доски, а длинной ножкой – линейкой двигается по листу бумаги. Такая линейка незаменимая помощница любого конструктора и чертежника. Линии, которые выполняют с ее помощью, будут параллельны друг другу.

Для измерения в столярных работах используется складной метр – метровая линейка, которую складывают для удобства и хранения. Для этих же целей служит рулетка – линейка из тонкого металла, свернутого рулоном, который спрятан в специальной коробочке.

Ластик.

Без этого приспособления не обойдется никто. От начинающего впервые рисовать малыша до профессионала – все пользуется резинкой для стирания. Не забывайте и вы аккуратно удалять неточности на рисунках и чертежах. Да, смотрите, не перестарайтесь! Ведь если вы будете пользоваться ластиком с силой, то на бумажном листе может образоваться самая обыкновенная дырка. После этого говорить о красоте вашей будущей работы уже не стоит, она испорчена! Вот такой непростой этот маленький инструмент для стирания! 

Бумага.

Бумага впервые была получена во втором веке в Китае. С момента своего возникновения этот материал становился активным средством общения между людьми. Бумага помогает сберечь для будущих поколений накопленный опыт – наследие прошлого и настоящего человечества.

Человек всегда стремился рассказать о себе. До появления бумаги мысли, чувства, отношения людей отражались в загадочных рисунках, высеченных на скалах, гранитных глыбах, стенах пещер. В нашей стране такие находки обнаружены у нас на Урале, в Сибири, Карелии, Уссурийской тайге.

Позднее желаемую информацию стали заносить на глиняные таблички. Рисовали на них палочками по сырой глине. Такие таблички могли служить письмами.

Затем появились деревянные дощечки, которые покрывали краской или воском и делали записи заостренной палочкой.

На Руси нашла применение береста. Очень много берестяных грамот археологи обнаружили на новгородской земле.

Во втором веке до н.э. в городе Пергаме, крупном ремесленном центре по производству кож, стали изготовлять новый материал для письма. Он получил название пергамент.

Китайский чиновник Цай Лунь сделал доклад императору о существовании технологии по производству бумаги из бамбуковых стеблей. Это произошло в 105 году до н.э. Китайцы долго держали в секрете рецепт изготовления бумаги. Несколько столетий хранился этот секрет, пока в VII веке н.э. странствующий буддийский монах Дан-Хо не передал секрет бумагоделания японцам.

Через 100 лет японская бумага по качеству становится лучше китайской.

Вскоре искусством производства бумаги овладели в Индии, Вьетнаме, арабских странах.

В Европе бумага стала производиться с XII века в мелких мастерских сначала в Италии, затем во Франции, Англии, Германии, Голландии.

В России первая бумажная фабрика была построена в XVI веке недалеко от Москвы. Первая крупная бумажная мануфактура была построена при Петре I в 1716 году близ Петербурга. К концу XVIII века в России уже работало 20 крупных бумажных фабрик, а в первой половине XIX века их стало 88.

Способность человека быть творцом воспитывается прежде всего в школе. Уже простое самостоятельное решение задач по математике – работа творческая, но это лишь начальная ступень развития творческих сил и способностей человека, начальная стадия эстетической зрелости. Дальнейшие шаги по этому пути – умение самому поставить вопрос, самому сконструировать задачу. А что такое творческие способности и эстетический подход ? Четкого ответа на этот вопрос психология не дает. Практика показывает: если школьник проявляет большой интерес к математике, если он с успехом, а часто и с удовольствием решает трудные математические задачи, то с большей уверенностью можно предположить, что у этого школьника имеются не только математические способности, но и ясность в мышлении, порядок в логике.